z-toets

(EN: z-test)

De z-toets is een statistische hypothesetoets om een uitspraak over het populatiegemiddelde te verifiëren, meer bepaald of het populatiegemiddelde \(\mu\) gelijk is aan een bepaalde waarde, genoteerd als \(\mu_0\).

De z-toets kan gebruikt worden onder voorwaarde dat:

• de steekproef aselect is
• de steekproef groot genoeg is (\(n \geq 30\))
• de toetsingsgrootheid normaal verdeeld is
• de standaardafwijking van de populatie \(\sigma\) gekend is

We gaan er in eerste instantie van uit dat deze uitspraak waar is, dus dat \(\mu = \mu_0\). Dit is de nulhypothese. Dan geldt de centrale limietstelling en volgt het steekproefgemiddelde een normale verdeling met verwachtingswaarde \(\mu_0\) en standaardafwijking \(\sigma/\sqrt{n}\).

De toetsingsgrootheid is dan het steekproefgemiddelde. Deze zal afwijken van de verwachtingswaarde \(\mu_0\), maar de vraag is in hoeverre dat verschil significant is.

Er bestaan drie varianten van deze toets:

• Rechtszijdig:
  • \(H_0\): \(\mu = \mu_0\), \(H_1\): \(\mu > \mu_0\)
  • overschrijdingskans: \(p = P(Z > z)\) met \(z\) de z-score \(z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\)
  • kritieke grenswaarde: \(g = \overline{x} + z_{\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\) met \(z_{\alpha}\) zodat \(P(Z > z_{\alpha}) = \alpha\)
  • verwerp de nulhypothese als \(\overline{x} > g\)
• Linkszijdig:
  • \(H_0\): \(\mu = \mu_0\), \(H_1\): \(\mu < \mu_0\)
  • overschrijdingskans: \(p = P(Z < z)\)
  • kritieke grenswaarde: \(g = \overline{x} - z_{\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
  • verwerp de nulhypothese als \(\overline{x} < g\)
• Tweezijdig:
  • \(H_0\): \(\mu = \mu_0\), \(H_1\): \(\mu \neq \mu_0\)
  • overschrijdingskans: \(p = 2P(Z > z)\)
  • kritieke grenswaarden:
    • \(g_1 = \overline{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
    • \(g_2 = \overline{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
  • verwerp de nulhypothese als \(\overline{x} < g_1\) of \(\overline{x} > g_2\)

In de praktijk wordt de \(z\)-toets zelden gebruikt omdat de populatiestandaardafwijking meestal niet gekend is. In dat geval wordt eerder de t-toets gebruikt.