Skip to content

kansverdeling

(EN: probability distribution)

Ook: waarschijnlijkheidsverdeling, of -distributie.

De kansverdeling van een stochastische variabele \(X\) is een wiskundige functie die de kans geeft dat een bepaalde uitkomst van \(X\) zich voordoet.

Er wordt onderscheid gemaakt tussen enerzijds discrete en continue verdelingen. De kansverdeling van een discrete variabele wordt beschreven door een kansfunctie (EN: probability mass function), die van een continue variabele door een kansdichtheidsfunctie (EN: probability distribution function).

Kansfunctie

(EN: probability mass function)

Bij een discrete stochastische variabele kan je voor elke mogelijke uitkomst \(x\) de kans \(P(X = x)\) opsommen.

Voorbeeld: het aantal ogen bij twee dobbelstenen is een discrete stochastische variabele met waarden \(2, 3, \ldots, 12\). De kansverdeling van deze variabele is:

\(x\) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
\(P(X = x)\) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Of, compacter uitgedrukt:

\[P(X = x) = \frac{min(x-1, 13-x)}{36}\]

Deze functie voldoet aan de axioma's van de kansrekening:

  • \(\forall x: 0 \leq P(X = x) \leq 1\)
  • \(\sum_x P(X = x) = 1\)
  • Ook de somregel werkt, bv. de kans dat je een even getal gooit is \(P(X = 2) + P(X = 4) + \ldots + P(X = 12) = 18/36 = 1/2\).

De verwachtingswaarde (of verwachte waarde; EN: expecation, expected value) van een discrete stochastische variabele, genoteerd \(\mu_X\) of \(E(X)\) is:

\[\mu_X = \sum_x x \cdot P(X = x) = \sum_x x \cdot f_X(x)\]

De variantie (EN: variance) van een discrete stochastische variabele, genoteerd \(\sigma_X^2\) is:

\[\sigma_X^2 = \sum_x (x - \mu_X)^2 \cdot P(X = x) = \sum_x (x - \mu_X)^2 \cdot f_X(x)\]

De standaardafwijking (EN: standard deviation) van een discrete stochastische variabele, genoteerd \(\sigma_X\) is dan de vierkantswortel van de variantie:

\[\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}\]

Kansdichtheidsfunctie

(EN: probability density function)

Bij een continue stochastische variabele die elke reële waarde als uitkomst kan hebben, is het niet mogelijk om voor elke mogelijke uitkomst \(x\) de kans \(P(X = x)\) op te sommen. Hier geldt dat voor elke \(x\) de kans \(P(X = x) = 0\). In plaats daarvan wordt de kansverdeling beschreven door een functie die de kans geeft dat een bepaalde uitkomst \(x\) zich voordoet in een bepaald interval \([a, b] \subset \mathbb{R}\).

Het uitwerken van de volledige formele wiskundige basis van continue verdelingen valt buiten het bereik van deze cursus. De eigenschappen van een discrete kansverdeling blijven echter gelden:

  • De som van alle kansen is 1, wat overeenkomt met de totale oppervlakte van het gebied tussen de X-as en de kansdichteidsfunctie \(f\).

    \[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = 1\]

  • De kans dat een continue stochastische variabele \(X\) in een bepaald interval \([a, b]\) valt is \(P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f_X(x) \, \mathrm{d}x\) en die kans is altijd tussen \(0\) en \(1\).

    \[0 \leq \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x \leq 1\]

  • De complementregel geldt ook, dus \(P(X \leq a) = 1 - P(X \geq a)\).

    \[\int_{-\infty}^{a} f(x) \mathrm{d}x = 1 - \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x\]

Een kans $P(X \leq a) noemen we ook een linkerstaartkans, \(P(X \geq a)\) een rechterstaartkans.

Bekende kansverdelingen

We sommen hier de kansverdelingen op die in deze cursus aan bod komen. Voor een uitgebreidere lijst, zie bv. Wikipedia.